＊）TCBスプラインの実践的パラメータ設定

最終更新日時: 2025年08月25日 12:57

TODOs

• nothing

要約

本セクションではTCBスプラインのパラメータが曲線の形状に与える数学的影響を解説する。2次元の具体例から3次元への拡張の数学的基礎を示し、各パラメータの設定指針を提供する。

TCBパラメータの基本方程式

TCBスプラインでは、各制御点にTension(t)、Continuity(c)、Bias(b)の3つのパラメータを設定する。これらは接線ベクトルの計算に以下のように影響する：

$$\begin{align*} D_{i,i+1}^- &= \frac{(1-t)(1+b)(1+c)}{2}(P_i - P_{i-1}) + \frac{(1-t)(1-b)(1-c)}{2}(P_{i+1} - P_i) \\ D_{i,i+1}^+ &= \frac{(1-t)(1+b)(1-c)}{2}(P_i - P_{i-1}) + \frac{(1-t)(1-b)(1+c)}{2}(P_{i+1} - P_i) \end{align*}$$

ここで：

• $P_{i}$は各座標で、座標の次元はユーザが定義
• $D_{i,i+1}^-$ は点 $P_i$ での出力接線
• $D_{i,i+1}^+$ は点 $P_{i+1}$ での入力接線
• t, c, b はそれぞれ Tension, Continuity, Bias

tcbパラメータ

1. Tension (t)

   • 数学的効果：係数 $(1-t)$ によって接線の大きさをスケーリング
     • t = -1: 接線ベクトルが2倍になる → 曲線が曲がりやすい（緩やか）
     • t = 0: 標準的な大きさの接線ベクトル
     • t = 1: 接線ベクトルが0になる → 曲線が直線的に

2. Continuity (c)

   • 数学的効果：入力接線と出力接線の対称性を制御
     • c = -1: $(1+c) = 0$, $(1-c) = 2$ → 接線の非対称性が最大
     • c = 0: $(1+c) = (1-c) = 1$ → 接線が対称的
     • c = 1: $(1+c) = 2$, $(1-c) = 0$ → 逆方向の非対称性

3. Bias (b)

   • 数学的効果：接線計算で使われる前後の点の影響度を調整
     • b = -1: 次の点への影響が強まる
     • b = 0: 前後の点が等しく影響
     • b = 1: 前の点からの影響が強まる

2次元での計算例

具体的に、下記の2次元の点を用いて線を描く

$$\begin{align*} P_0 &= (0, 0)\\ P_1 &= (10, 25)\\ P_2 &= (20, -14)\\ P_3 &= (30, 50)\\ P_4 &= (40, 0)\\ \end{align*}$$

として、$P_{n}$と$P_{n+1}$の間のセグメントを$P_{n,n+1}$と示すことにする

標準設定の接線計算例

まず、各セグメントを全てのパラメータを0にして計算する

• パラメータ
  • $t = 0, c = 0, b = 0$
• セグメント$P_{0,1}$,$P_{1,2}$,$P_{2,3}$,$P_{0,1}$,

注：Continuityとbiasが0の場合、入力接線と出力接線は同じになる。

以上より、Dを再掲すると下記のようになる。

$$\begin{align*} D_{0,1}^- &= \frac{(1)(1)(1)}{2}(P_0 - P_0) + \frac{(1)(1)(1)}{2}(P_1 - P_0) = \frac{1}{2}(10, 25) = (5, 12.5) \\ D_{1,2}^- &= \frac{1}{2}(P_1 - P_0) + \frac{1}{2}(P_2 - P_1) = \frac{1}{2}((10, 25) - (0, 0)) + \frac{1}{2}((20, -14) - (10, 25)) \\ &= \frac{1}{2}(10, 25) + \frac{1}{2}(10, -39) = (10, -7) \\ D_{2,3}^- &= \frac{1}{2}(P_2 - P_1) + \frac{1}{2}(P_3 - P_2) = \frac{1}{2}((20, -14) - (10, 25)) + \frac{1}{2}((30, 50) - (20, -14)) \\ &= \frac{1}{2}(10, -39) + \frac{1}{2}(10, 64) = (10, 12.5) \\ D_{3,4}^- &= \frac{1}{2}(P_3 - P_2) + \frac{1}{2}(P_4 - P_3) = \frac{1}{2}((30, 50) - (20, -14)) + \frac{1}{2}((40, 0) - (30, 50)) \\ &= \frac{1}{2}(10, 64) + \frac{1}{2}(10, -50) = (10, 7) \\ \end{align*}$$

また、これより、実際の線の式は

$$\begin{align*} P_{0,1}(u) &= (1-u)^3P_0 + 3u(1-u)^2(P_0 + \frac{1}{3}D_{0,1}^-) + 3u^2(1-u)(P_1 - \frac{1}{3}D_{1,2}^-) + u^3P_1 \\ &= (1-u)^3(0,0) + 3u(1-u)^2((0,0) + \frac{1}{3}(5, 12.5)) + 3u^2(1-u)((10,25) - \frac{1}{3}(10, -7)) + u^3(10,25) \\ &= 3u(1-u)^2(1.67, 4.17) + 3u^2(1-u)(6.67, 27.33) + u^3(10,25) \\ \\ P_{1,2}(u) &= (1-u)^3P_1 + 3u(1-u)^2(P_1 + \frac{1}{3}D_{1,2}^-) + 3u^2(1-u)(P_2 - \frac{1}{3}D_{2,3}^-) + u^3P_2 \\ &= (1-u)^3(10,25) + 3u(1-u)^2((10,25) + \frac{1}{3}(10, -7)) + 3u^2(1-u)((20,-14) - \frac{1}{3}(10, 12.5)) + u^3(20,-14) \\ &= (1-u)^3(10,25) + 3u(1-u)^2(13.33, 22.67) + 3u^2(1-u)(16.67, -18.17) + u^3(20,-14) \\ \\ P_{2,3}(u) &= (1-u)^3P_2 + 3u(1-u)^2(P_2 + \frac{1}{3}D_{2,3}^-) + 3u^2(1-u)(P_3 - \frac{1}{3}D_{3,4}^-) + u^3P_3 \\ &= (1-u)^3(20,-14) + 3u(1-u)^2((20,-14) + \frac{1}{3}(10, 12.5)) + 3u^2(1-u)((30,50) - \frac{1}{3}(10, 7)) + u^3(30,50) \\ &= (1-u)^3(20,-14) + 3u(1-u)^2(23.33, -9.83) + 3u^2(1-u)(26.67, 47.67) + u^3(30,50) \\ \\ P_{3,4}(u) &= (1-u)^3P_3 + 3u(1-u)^2(P_3 + \frac{1}{3}D_{3,4}^-) + 3u^2(1-u)(P_4 - \frac{1}{3}D_{4,5}^-) + u^3P_4 \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2((30,50) + \frac{1}{3}(10, 7)) + 3u^2(1-u)((40,0) - \frac{1}{3}(0, 0)) + u^3(40,0) \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2(33.33, 52.33) + 3u^2(1-u)(40, 0) + u^3(40,0) \\ \end{align*}$$

となる。

$P_{3,4}$を変更した場合

高Tensionの場合

$P_{3,4}$を高Tension設定にした場合

• パラメータ設定
  • $t = 0.8, c = 0, b = 0$

下記のような計算結果となり、結果各セグメントの線は下記のようになる。

$$\begin{align*} D_{3,4}^- &= \frac{(1-0.8)(1+0)(1+0)}{2}(P_3 - P_2) + \frac{(1-0.8)(1-0)(1-0)}{2}(P_4 - P_3) \\ &= \frac{0.2}{2}((30, 50) - (20, -14)) + \frac{0.2}{2}((40, 0) - (30, 50)) \\ &= 0.1(10, 64) + 0.1(10, -50) = (2, 1.4) \\ \end{align*}$$

$P_{3,4}$セグメントの曲線式：

$$\begin{align*} P_{3,4}(u) &= (1-u)^3P_3 + 3u(1-u)^2(P_3 + \frac{1}{3}D_{3,4}^-) + 3u^2(1-u)(P_4 - \frac{1}{3}D_{4,5}^-) + u^3P_4 \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2((30,50) + \frac{1}{3}(2, 1.4)) + 3u^2(1-u)((40,0) - \frac{1}{3}(0, 0)) + u^3(40,0) \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2(30.67, 50.47) + 3u^2(1-u)(40, 0) + u^3(40,0) \\ \end{align*}$$

負のContinuityの場合

$P_{3,4}$を負のcontinuityを設定した場合

• パラメータ設定
  • $t = 0, c = -0.6, b = 0$

下記のような計算結果となり、結果各セグメントの線は下記のようになる。

$$\begin{align*} D_{3,4}^- &= \frac{(1-0)(1+0)(1+(-0.6))}{2}(P_3 - P_2) + \frac{(1-0)(1-0)(1-(-0.6))}{2}(P_4 - P_3) \\ &= \frac{0.4}{2}((30, 50) - (20, -14)) + \frac{1.6}{2}((40, 0) - (30, 50)) \\ &= 0.2(10, 64) + 0.8(10, -50) = (2, 12.8) + (8, -40) = (10, -27.2) \\ \end{align*}$$

$P_{3,4}$セグメントの曲線式：

$$\begin{align*} P_{3,4}(u) &= (1-u)^3P_3 + 3u(1-u)^2(P_3 + \frac{1}{3}D_{3,4}^-) + 3u^2(1-u)(P_4 - \frac{1}{3}D_{4,5}^-) + u^3P_4 \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2((30,50) + \frac{1}{3}(10, -27.2)) + 3u^2(1-u)((40,0) - \frac{1}{3}(0, 0)) + u^3(40,0) \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2(33.33, 40.93) + 3u^2(1-u)(40, 0) + u^3(40,0) \\ \end{align*}$$

負のTensionの場合

$P_{3,4}$を負のTension設定にした場合

• パラメータ設定
  • $t = -0.8, c = 0, b = 0$

$$\begin{align*} D_{3,4}^- &= \frac{(1-(-0.8))(1+0)(1+0)}{2}(P_3 - P_2) + \frac{(1-(-0.8))(1-0)(1-0)}{2}(P_4 - P_3) \\ &= \frac{1.8}{2}((30, 50) - (20, -14)) + \frac{1.8}{2}((40, 0) - (30, 50)) \\ &= 0.9(10, 64) + 0.9(10, -50) = (9, 57.6) + (9, -45) = (18, 12.6) \\ \end{align*}$$

$P_{3,4}$セグメントの曲線式：

$$\begin{align*} P_{3,4}(u) &= (1-u)^3P_3 + 3u(1-u)^2(P_3 + \frac{1}{3}D_{3,4}^-) + 3u^2(1-u)(P_4 - \frac{1}{3}D_{4,5}^-) + u^3P_4 \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2((30,50) + \frac{1}{3}(18, 12.6)) + 3u^2(1-u)((40,0) - \frac{1}{3}(0, 0)) + u^3(40,0) \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2(36, 54.2) + 3u^2(1-u)(40, 0) + u^3(40,0) \\ \end{align*}$$

Biasのみ設定した場合

$P_{3,4}$をbiasのみ設定した場合

• パラメータ設定
  • $t = 0, c = 0, b = 0.7$

$$\begin{align*} D_{3,4}^- &= \frac{(1-0)(1+0.7)(1+0)}{2}(P_3 - P_2) + \frac{(1-0)(1-0.7)(1-0)}{2}(P_4 - P_3) \\ &= \frac{1.7}{2}((30, 50) - (20, -14)) + \frac{0.3}{2}((40, 0) - (30, 50)) \\ &= 0.85(10, 64) + 0.15(10, -50) = (8.5, 54.4) + (1.5, -7.5) = (10, 46.9) \\ \end{align*}$$

$P_{3,4}$セグメントの曲線式：

$$\begin{align*} P_{3,4}(u) &= (1-u)^3P_3 + 3u(1-u)^2(P_3 + \frac{1}{3}D_{3,4}^-) + 3u^2(1-u)(P_4 - \frac{1}{3}D_{4,5}^-) + u^3P_4 \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2((30,50) + \frac{1}{3}(10, 46.9)) + 3u^2(1-u)((40,0) - \frac{1}{3}(0, 0)) + u^3(40,0) \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2(33.33, 65.63) + 3u^2(1-u)(40, 0) + u^3(40,0) \\ \end{align*}$$

複数のパラメータを同時に変更した場合

より複雑な効果を得るために、複数のパラメータを組み合わせることができる。例えば、$P_{3,4}$に対して$t = 0.5, c = -0.4, b = 0.3$を設定すると：

$$\begin{align*} D_{3,4}^- &= \frac{(1-0.5)(1+0.3)(1+(-0.4))}{2}(P_3 - P_2) + \frac{(1-0.5)(1-0.3)(1-(-0.4))}{2}(P_4 - P_3) \\ &= \frac{0.5 \times 1.3 \times 0.6}{2}((30, 50) - (20, -14)) + \frac{0.5 \times 0.7 \times 1.4}{2}((40, 0) - (30, 50)) \\ &= 0.195(10, 64) + 0.245(10, -50) = (1.95, 12.48) + (2.45, -12.25) = (4.4, 0.23) \\ \end{align*}$$

$P_{3,4}$セグメントの曲線式：

$$\begin{align*} P_{3,4}(u) &= (1-u)^3P_3 + 3u(1-u)^2(P_3 + \frac{1}{3}D_{3,4}^-) + 3u^2(1-u)(P_4 - \frac{1}{3}D_{4,5}^-) + u^3P_4 \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2((30,50) + \frac{1}{3}(4.4, 0.23)) + 3u^2(1-u)((40,0) - \frac{1}{3}(0, 0)) + u^3(40,0) \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2(31.47, 50.08) + 3u^2(1-u)(40, 0) + u^3(40,0) \\ \end{align*}$$

停止・再加速効果の例

$P_{3,4}$に対して同じtension, continuityに対してbを変えた場合の効果を確認する

• パラメータ設定
  • $t = 0.9, c = -0.7$, bは可変

$b = -0.3$ の場合

$$\begin{align*} D_{3,4}^- &= \frac{(1-0.9)(1+(-0.3))(1+(-0.7))}{2}(P_3 - P_2) + \frac{(1-0.9)(1-(-0.3))(1-(-0.7))}{2}(P_4 - P_3) \\ &= \frac{0.1 \times 0.7 \times 0.3}{2}((30, 50) - (20, -14)) + \frac{0.1 \times 1.3 \times 1.7}{2}((40, 0) - (30, 50)) \\ &= 0.0105(10, 64) + 0.1105(10, -50) = (0.105, 0.672) + (1.105, -5.525) = (1.21, -4.853) \\ \end{align*}$$

$P_{3,4}$セグメントの曲線式：

$$\begin{align*} P_{3,4}(u) &= (1-u)^3P_3 + 3u(1-u)^2(P_3 + \frac{1}{3}D_{3,4}^-) + 3u^2(1-u)(P_4 - \frac{1}{3}D_{4,5}^-) + u^3P_4 \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2((30,50) + \frac{1}{3}(1.21, -4.853)) + 3u^2(1-u)((40,0) - \frac{1}{3}(0, 0)) + u^3(40,0) \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2(30.40, 48.38) + 3u^2(1-u)(40, 0) + u^3(40,0) \\ \end{align*}$$

$b = 0.3$ の場合

$$\begin{align*} D_{3,4}^- &= \frac{(1-0.9)(1+0.3)(1+(-0.7))}{2}(P_3 - P_2) + \frac{(1-0.9)(1-0.3)(1-(-0.7))}{2}(P_4 - P_3) \\ &= \frac{0.1 \times 1.3 \times 0.3}{2}((30, 50) - (20, -14)) + \frac{0.1 \times 0.7 \times 1.7}{2}((40, 0) - (30, 50)) \\ &= 0.0195(10, 64) + 0.0595(10, -50) = (0.195, 1.248) + (0.595, -2.975) = (0.79, -1.727) \\ \end{align*}$$

$P_{3,4}$セグメントの曲線式：

$$\begin{align*} P_{3,4}(u) &= (1-u)^3P_3 + 3u(1-u)^2(P_3 + \frac{1}{3}D_{3,4}^-) + 3u^2(1-u)(P_4 - \frac{1}{3}D_{4,5}^-) + u^3P_4 \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2((30,50) + \frac{1}{3}(0.79, -1.727)) + 3u^2(1-u)((40,0) - \frac{1}{3}(0, 0)) + u^3(40,0) \\ &= (1-u)^3(30,50) + 3u(1-u)^2(30.26, 49.42) + 3u^2(1-u)(40, 0) + u^3(40,0) \\ \end{align*}$$

結果

この設定により：

• 高いTensionで接線が短くなり、曲線が平坦化
• 負のContinuityで方向転換が鋭くなる
• Biasの調整で前後点の影響度が変化

$P_{2,3}$を変更した場合

高Tensionの場合

$P_{2,3}$を高Tension設定にした場合

• パラメータ設定
  • $t = 0.8, c = 0, b = 0$

[この計算結果を掲載]

負のContinuityの場合

$P_{2,3}$を負のcontinuityを設定した場合

• パラメータ設定
  • $t = 0, c = -0.6, b = 0$

[この計算結果を掲載]

負のTensionの場合

$P_{2,3}$を負のTension設定にした場合

• パラメータ設定
  • $t = -0.8, c = 0, b = 0$

[この計算結果を掲載]

Biasのみ設定した場合

$P_{2,3}$をbiasのみ設定した場合

• パラメータ設定
  • $t = 0, c = 0, b = 0.7$

[この計算結果を掲載]

複数のパラメータを同時に変更した場合

$P_{2,3}$に対して$t = 0.5, c = -0.4, b = 0.3$を設定した場合

[この計算結果を掲載]

停止・再加速効果の例

$P_{2,3}$に対して同じtension, continuityに対してbを変えた場合の効果を確認する

• パラメータ設定
  • $t = 0.9, c = -0.7$, bは可変

[この計算結果を掲載]

$b = -0.3$ の場合

[この計算結果を掲載]

$b = 0.3$ の場合

[この計算結果を掲載]

パラメータ設定の数学的安全範囲

理論的にはパラメータは[-1,1]の範囲だが、数値計算上の安全性から推奨範囲がある：

• Tension安全範囲（t ∈ [-0.9, 0.9]）

  • t < -0.9: 係数(1-t) > 1.9となり、極端な拡大でオーバーシュート
  • t > 0.9: 係数(1-t) < 0.1となり、接線がほぼ消失

• Continuity安全範囲（c ∈ [-0.8, 0.8]）

  • 極端な値では(1+c)または(1-c)が0に近づき、片方の影響が消失

• Bias安全範囲（b ∈ [-0.9, 0.9]）

  • 極端な値では一方の点の影響が過度に強まる

用語説明

• オーバーシュート: 曲線が制御点を超えて「行き過ぎる」現象
• エルミート基底関数: エルミート補間で使用される3次多項式の基底関数
• カトマル・ロム補間: 接線を隣接点から計算する特殊なエルミートスプライン

リファレンス

• Kochanek-Bartels スプライン原論文
• “Interpolating Splines with Local Tension, Continuity, and Bias Control” SIGGRAPH ‘85
• “Parameterization and Applications of Catmull-Rom Curves” by Cem Yuksel
• The Centripetal Catmull-Rom Spline, Barry & Goldman, 1988
• Arc Length Parameterization, Sharpe & Thorne, 1982