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ドキュメント

∇、偏微分記号

最終更新日時: 2025年08月25日 12:57

1. 直交座標系 (x, y, z)

Section titled “1. 直交座標系 (x, y, z)”

勾配演算子

Section titled “勾配演算子”
∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)∇ = (\frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y}, \frac{∂}{∂z})

勾配（gradient）

Section titled “勾配（gradient）”
∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)∇f = (\frac{∂f}{∂x}, \frac{∂f}{∂y}, \frac{∂f}{∂z})

発散（divergence）

Section titled “発散（divergence）”
∇⋅F⃗=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z∇ \cdot \vec{F} = \frac{∂F_x}{∂x} + \frac{∂F_y}{∂y} + \frac{∂F_z}{∂z}

回転（curl）

Section titled “回転（curl）”
∇×F⃗=(∂Fz∂y−∂Fy∂z)i⃗+(∂Fx∂z−∂Fz∂x)j⃗+(∂Fy∂x−∂Fx∂y)k⃗∇ × \vec{F} = (\frac{∂F_z}{∂y} - \frac{∂F_y}{∂z})\vec{i} + (\frac{∂F_x}{∂z} - \frac{∂F_z}{∂x})\vec{j} + (\frac{∂F_y}{∂x} - \frac{∂F_x}{∂y})\vec{k}

ラプラシアン

Section titled “ラプラシアン”
∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2∇^2 = \frac{∂^2}{∂x^2} + \frac{∂^2}{∂y^2} + \frac{∂^2}{∂z^2}

2. 円柱座標系 (ρ, φ, z)

Section titled “2. 円柱座標系 (ρ, φ, z)”

勾配演算子

Section titled “勾配演算子”
∇=(∂∂ρ,1ρ∂∂φ,∂∂z)∇ = (\frac{∂}{∂ρ}, \frac{1}{ρ}\frac{∂}{∂φ}, \frac{∂}{∂z})

勾配

Section titled “勾配”
∇f=∂f∂ρeρ⃗+1ρ∂f∂φeφ⃗+∂f∂zk⃗∇f = \frac{∂f}{∂ρ}\vec{e_ρ} + \frac{1}{ρ}\frac{∂f}{∂φ}\vec{e_φ} + \frac{∂f}{∂z}\vec{k}

発散

Section titled “発散”
∇⋅F⃗=1ρ∂∂ρ(ρFρ)+1ρ∂Fφ∂φ+∂Fz∂z∇ \cdot \vec{F} = \frac{1}{ρ}\frac{∂}{∂ρ}(ρF_ρ) + \frac{1}{ρ}\frac{∂F_φ}{∂φ} + \frac{∂F_z}{∂z}

回転

Section titled “回転”
∇×F⃗=(1ρ∂Fz∂φ−∂Fφ∂z)eρ⃗+(∂Fρ∂z−∂Fz∂ρ)eφ⃗+1ρ(∂(ρFφ)∂ρ−∂Fρ∂φ)k⃗∇ × \vec{F} = (\frac{1}{ρ}\frac{∂F_z}{∂φ} - \frac{∂F_φ}{∂z})\vec{e_ρ} + (\frac{∂F_ρ}{∂z} - \frac{∂F_z}{∂ρ})\vec{e_φ} + \frac{1}{ρ}(\frac{∂(ρF_φ)}{∂ρ} - \frac{∂F_ρ}{∂φ})\vec{k}

ラプラシアン

Section titled “ラプラシアン”
∇2=1ρ∂∂ρ(ρ∂∂ρ)+1ρ2∂2∂φ2+∂2∂z2∇^2 = \frac{1}{ρ}\frac{∂}{∂ρ}(ρ\frac{∂}{∂ρ}) + \frac{1}{ρ^2}\frac{∂^2}{∂φ^2} + \frac{∂^2}{∂z^2}

3. 球座標系 (r, θ, φ)

Section titled “3. 球座標系 (r, θ, φ)”

勾配演算子

Section titled “勾配演算子”
∇=(∂∂r,1r∂∂θ,1rsin⁡θ∂∂φ)∇ = (\frac{∂}{∂r}, \frac{1}{r}\frac{∂}{∂θ}, \frac{1}{r\sin θ}\frac{∂}{∂φ})

勾配

Section titled “勾配”
∇f=∂f∂rer⃗+1r∂f∂θeθ⃗+1rsin⁡θ∂f∂φeφ⃗∇f = \frac{∂f}{∂r}\vec{e_r} + \frac{1}{r}\frac{∂f}{∂θ}\vec{e_θ} + \frac{1}{r\sin θ}\frac{∂f}{∂φ}\vec{e_φ}

発散

Section titled “発散”
∇⋅F⃗=1r2∂∂r(r2Fr)+1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θFθ)+1rsin⁡θ∂Fφ∂φ∇ \cdot \vec{F} = \frac{1}{r^2}\frac{∂}{∂r}(r^2F_r) + \frac{1}{r\sin θ}\frac{∂}{∂θ}(\sin θF_θ) + \frac{1}{r\sin θ}\frac{∂F_φ}{∂φ}

回転

Section titled “回転”
∇×F⃗=1rsin⁡θ(∂(Fφsin⁡θ)∂θ−∂Fθ∂φ)er⃗+1r(1sin⁡θ∂Fr∂φ−∂(rFφ)∂r)eθ⃗+1r(∂(rFθ)∂r−∂Fr∂θ)eφ⃗∇ × \vec{F} = \frac{1}{r\sin θ}(\frac{∂(F_φ\sin θ)}{∂θ} - \frac{∂F_θ}{∂φ})\vec{e_r} + \frac{1}{r}(\frac{1}{\sin θ}\frac{∂F_r}{∂φ} - \frac{∂(rF_φ)}{∂r})\vec{e_θ} + \frac{1}{r}(\frac{∂(rF_θ)}{∂r} - \frac{∂F_r}{∂θ})\vec{e_φ}

ラプラシアン

Section titled “ラプラシアン”
∇2=1r2∂∂r(r2∂∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2∂φ2∇^2 = \frac{1}{r^2}\frac{∂}{∂r}(r^2\frac{∂}{∂r}) + \frac{1}{r^2\sin θ}\frac{∂}{∂θ}(\sin θ\frac{∂}{∂θ}) + \frac{1}{r^2\sin^2 θ}\frac{∂^2}{∂φ^2}

4. 重要な関係式

Section titled “4. 重要な関係式”

ベクトル場の回転の発散

Section titled “ベクトル場の回転の発散”
∇⋅(∇×F⃗)=0∇ \cdot (∇ × \vec{F}) = 0

スカラー場の勾配の回転

Section titled “スカラー場の勾配の回転”
∇×(∇f)=0⃗∇ × (∇f) = \vec{0}

二重回転

Section titled “二重回転”
∇×(∇×F⃗)=∇(∇⋅F⃗)−∇2F⃗∇ × (∇ × \vec{F}) = ∇(∇ \cdot \vec{F}) - ∇^2\vec{F}

ベクトル場の発散の勾配

Section titled “ベクトル場の発散の勾配”
∇×(∇×F⃗)=∇(∇⋅F⃗)−∇2F⃗∇ × (∇ × \vec{F}) = ∇(∇ \cdot \vec{F}) - ∇^2\vec{F}

ストークスの定理

Section titled “ストークスの定理”
∮CF⃗⋅dr⃗=∬S(∇×F⃗)⋅dS⃗\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (∇ × \vec{F}) \cdot d\vec{S}

ガウスの発散定理

Section titled “ガウスの発散定理”
∭V(∇⋅F⃗)dV=∯SF⃗⋅dS⃗\iiint_V (∇ \cdot \vec{F})dV = \oiint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}