(*)四元数とデュアルクォータニオン

四元数を使った線形変換

線形変換を行列形式ではなく、四元数を用いて表現することで、回転をより効率的かつ安定的に扱うことができます。 しかし注意が必要ですが、四元数では回転しか扱えないためその概念の拡張が必要になる。

四元数の基本

四元数を用いた回転変換は

$$\mathbf{q} = w + xi + yj + zk$$

ここで：

• $w$: スカラー成分
• $x, y, z$: ベクトル成分
• $i, j, k$: 四元数の単位ベクトル
• $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$
• $ij=+k, jk=+i, ki=+j$
• $ji=-k, kj=-i, ik=-j$

四元数の共役

• $\mathbf{q}$の共役は
  • $\bar{\mathbf{q}}$とも表記する
  • $\overline{\mathbf{q}}$とも表記する
  • $\mathbf{q}^*$とも表記する(デュアルクォータニオンを利用した場合）
• 虚数成分の符号を反転させたもの
• 幾何学的には回転を元に戻すことに相当

$$\bar{\mathbf{q}} = w -xi -yj -zk$$

四元数のノルム

• $\mathbf{q}$のノルムは$\|\mathbf{q}\|$と表記される

$$\|\mathbf{q}\| = \sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}$$

四元数の逆元

• $\mathbf{q}$の逆数(逆元)は$\mathbf{q}^{-1}$と表記される
• お互いをかけると１ ($1+0i+0j+0k$)になるもの（逆行列みたいなもの）

$$\mathbf{q}^{-1} = \frac{\bar{\mathbf{q}}}{\|\mathbf{q}\|}$$

積の共役

$$\overline{ \mathbf{q_1} \cdot \mathbf{q_2} } = \bar{\mathbf{q_1}} \cdot \bar{\mathbf{q_2}}$$

四元数の逆元

四元数 $\mathbf{q} = w + xi + yj + zk$ の逆元 $\mathbf{q}^{-1}$ は、以下の式で計算されます：

$$\mathbf{q}^{-1} = \frac{\bar{\mathbf{q}}}{\|\mathbf{q}\|^2}$$

ここで：

• $\bar{\mathbf{q}}$: 共役四元数で、$\bar{\mathbf{q}} = w - xi - yj - zk$
• $\|\mathbf{q}\|^2$: 四元数のノルムの二乗で、$\|\mathbf{q}\|^2 = w^2 + x^2 + y^2 + z^2$

デュアルクォータニオン：四元数の拡張と空間変換

四元数による回転

任意のベクトル $\mathbf{v} = (x, y, z)$ に対して、四元数回転を適用する場合：

$$\mathbf{v}' = \mathbf{q} \mathbf{v} \mathbf{q}^{-1}$$

• $\mathbf{q}$: 回転を表す四元数
• $\mathbf{q}^{-1}$: 四元数 $\mathbf{q}$ の逆元

四元数による平行移動

四元数では直接平行移動を表現できないため、回転と平行移動を統合する場合、以下の形式を使用します：

$$T(\mathbf{v}) = \mathbf{q} \mathbf{v} \mathbf{q}^{-1} + \mathbf{t}$$

ここで：

• $T$: 変換全体
• $\mathbf{t}$: 平行移動ベクトル

四元数を使った計算の具体例

具体例(1)

対象の図形を以下の要領で移動させることを考える

• 世界座標点 $(1, 1)$ を中心に $\pi/2$ 回転
• ローカル座標での移動ベクトル $(2, 0)$

二次元の時には 四元数は右手系座標系で考えるため、二次元の場合はz軸を除くｘ、ｙ軸の平面で考えるため、回転軸はz軸方向となる

詳細計算

四元数 $\mathbf{q} = w + xi + yj + zk$ でz軸周りに$\theta$だけ回転するときはの$x, y, z$は 回転軸の方向ベクトル $u = (u_x, u_y, u_z)$を用いて以下のようにあらわされる

• $w = \cos(\theta/2)$
• $x = \sin(\theta/2) \cdot u_x$
• $y = \sin(\theta/2) \cdot u_y$
• $z = \sin(\theta/2) \cdot u_z$
  • $\theta$はz軸方向を軸とした回転角

回転軸の方向ベクトルは二次元の場合は

• $u_x=0$
• $u_y=0$
• $u_z=1$

$z$ 成分だけに依存し、四元数は

$$q = \cos(\theta/2) + \sin(\theta/2) \cdot k$$

となる。

$\theta=\pi/2$の場合の$\mathbf{q}\mathbf{v}\mathbf{q}^{-1}$ の計算を行う。

$$\begin{aligned} \mathbf{q} &= \cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)j \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}j \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \bar{\mathbf{q}} = \end{aligned}$$

四元数の逆元 $\mathbf{q}^{-1}$は定義に基づき

$$\begin{aligned} \mathbf{q}^{-1} &= \frac{\bar{\mathbf{q}}}{\|\mathbf{q}\|^2}\\ &= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}j}{1}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}j \end{aligned}$$

ベクトル $\mathbf{v} = (2, 0, 0)$ を四元数形式に変換

$$\mathbf{v} = 0 + 2i + 0j + 0k$$ $$\begin{aligned} \mathbf{q}\mathbf{v} &= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}j\\ &= 0 + 2j \end{aligned}$$

次に：

$$(\mathbf{q}\mathbf{v})\mathbf{q}^{-1} = \left(0 + 2j\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}j\right)$$

計算結果：

$$\mathbf{v}' = 0 + 0i + 2j + 0k = (0, 2)$$

Three.jsにおけるクォータニオン、デュアルクオータニオン

THREE.Quaternionクラス