(*)画像変形技術

基本理論と数式

変形技術は、画像内の点 $p(x, y)$ が変形後の点 $q(x', y')$ に対応する変換関数 $T$ を求めることに基づきます。

$$q(x', y') = T(p(x, y))$$

ここで、$T$ は以下のいずれかの形式を取ることが一般的です：

• 線形変換　四元数とデュアルクォータニオンを参照
• 非線形変換

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メッシュワーピング(mesh warping)

• 格子状メッシュの頂点に注目した画像変形
• 制約点（アンカー）として特徴点を含むことが可能
• 例えば特徴点の新しい位置を設定し、他の頂点がその変化に追随する要全体の頂点を変更
• 重み付き補間（リニアブレンドスキニングやリジッドスキニング）やスプライン補間を併用
• 特徴点なしの例として、剛体変換で変形なし、行列による回転、スケーリング、平行移動など

頂点の変更ロジック

• 表面の滑らかさや
• 曲率や法線ベクトルなどの幾何学的特性を考慮
• 弾性エネルギー、表面の滑らかさのエネルギー、外部力のエネルギーの総和を最小化
• 弾性体として扱い、

$$\sigma=E\cdot\epsilon$$

• $\sigma$:応力
• $E$:ヤング率/弾性係数
• $\epsilon$: ひずみ
• 頂点を質量のある粒子の集合として扱い運動方程式のケース
• 形状の平滑化や変形時の均等性でラプラス方程式

$$\nabla \boldsymbol{p}=0$$

• $\boldsymbol{p}$: 頂点の座標
• $\nabla$:ラプラシアン。
• 拡張点が周囲の頂点の重心に引き寄せられるように働く

ユースケース

• 表情、衣服の変形
• 変形補正
• 流体や弾性体の挙動をリアルタイムに計算

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skinning

概要

• 身体の動きなどを目的とし、ボーンを使って、画像の自由な変形ではない
• リニアブレンドスキニング(LBS)やデュアルクォータニオンスキニング(DQS)がある

フィールドモーフィング

• 概要: 特徴線による変形制御
• メカニズム:
  • 線分ベースの変形定義
  • 影響範囲の重み付け
  • 複数特徴線の合成
• 利点:
  • 直感的な制御
  • 広域の自然な変形
  • 実装が比較的容易

1. 線形変換手法

• 概要: 画像のスケーリングや回転、平行移動を実現。
• 評価:
  • 計算量: $O(n)$（ピクセル数 $n$ に比例）。
  • メモリ使用量: 低。
  • 安定性: 高。特異点なし。

2. ラジアルベース関数（RBF）補間

• 概要: 基底関数を用いて点群間の滑らかな変形を実現。
• 評価:
  • 計算量: $O(n^3)$（補間の行列計算が支配的）。
  • メモリ使用量: 中。
  • 安定性: 中。点群の分布に依存。

3. 物理ベースの変形

• 概要: 弾性変形や流体力学のモデルを使用して変形。
• 評価:
  • 計算量: $O(n^2)$（シミュレーションの解法に依存）。
  • メモリ使用量: 高（パーティクルやグリッドを保持）。
  • 安定性: 中。力学モデルの条件に依存。

2. 物理ベースの手法

2.1 流体シミュレーション

• 基本原理: Navier-Stokes方程式
• 特徴:
  • 物理法則に基づく変形
  • 圧力と粘性の考慮
  • 保存則の遵守
• 課題:
  • 計算コストが高い
  • パラメータ調整が複雑
  • 制御が困難

2.2 パーティクルシステム

• メカニズム:
  • 個々の粒子の運動計算
  • 局所的な相互作用
  • 並列計算が可能
• 利点:
  • 柔軟な効果表現
  • スケーラブルな処理
  • 制御が比較的容易
• 制限:
  • メモリ使用量が大きい
  • テクスチャの連続性維持が課題
  • 細部の制御が難しい

3. 追加の変形手法

3.1 スプライン変形

• メカニズム:
  • Bスプライン/NURBS曲線
  • 制御点による形状定義
  • 滑らかな補間
• 特徴:
  • 局所的な制御が可能
  • 自然な曲線表現
  • 実装が比較的容易

3.2 FFD（Free Form Deformation）

• 概要: 制御格子による自由変形
• 特徴:
  • 3次Bezier基底関数
  • 階層的な制御
  • 大域的/局所的変形の組み合わせ

3.3 レベルセット法

• 原理: 境界移動の偏微分方程式
• 特徴:
  • トポロジー変化への対応
  • 安定した計算
  • 複雑な形状変化が可能

4. ハイブリッドアプローチ

4.1 多層モーフィング

• 構造:
  • 背景層
  • 主要オブジェクト層
  • テクスチャ層
• 利点:
  • 層別の細かい制御
  • 複雑な変形の実現
  • 自然な結果

4.2 階層的変形

• プロセス:
  1. 大域的変形（FFD等）
  2. 中域変形（メッシュ等）
  3. 局所的変形（スプライン等）
• 利点:
  • 多様な変形の組み合わせ
  • スケールに応じた制御
  • 柔軟な表現

5. 手法の評価比較

手法	実装複雑度	計算コスト	メモリ要件	リアルタイム性	制御性	変形の自然さ
メッシュワーピング	低	低	低	高	中	中
フィールドモーフィング	中	中	低	中	高	高
流体シミュレーション	高	高	高	低	低	高
パーティクルシステム	中	中～高	高	中	中	中
スプライン変形	中	低	低	高	高	高
FFD	中	中	中	中	高	高
レベルセット法	高	高	中	低	中	高
多層モーフィング	高	中～高	中	中	高	高
階層的変形	高	中～高	中	中	高	高

参考：Delaunay分割について

• 概要: 点群を三角形で分割する手法
• 特徴:
  • 最適な三角形分割を生成
  • 三角形の最小角を最大化
  • メッシュの品質が高い
• 画像変形への応用:
  • 制御点ベースの変形の基礎として利用可能
  • 自然な変形の実現に貢献
  • メッシュ生成の品質向上に有用