材質モデルに関する数学的考察

最終更新日時: 2025年08月25日 12:57

概要

BRDF（双方向反射分布関数）は、3次元空間における光の反射特性を数式的に表す関数である。材質モデルの違いはBRDFの定義に帰着する。

BRDF $f\_r$ は次式で定義される：

f_r(x, \omega_i, \omega_o) = \frac{dL_o(x, \omega_o)}{dE_i(x, \omega_i)} = \frac{dL_o(x, \omega_o)}{L_i(x, \omega_i) (\omega_i \cdot n) d\omega_i}

モデル名	BRDF式	特徴	代表例
Lambert	$f\_r = \frac{\rho}{\pi}$	等方的完全拡散反射、観測方向に依存しない	白壁、チョーク、紙
Phong	$f\_r \propto (\mathbf{r} \cdot \mathbf{v})^s$	経験的光沢モデル、鏡面方向近傍に集中	プラスチック、陶器
Blinn-Phong	$f\_r \propto (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^s$	Phongの計算最適化型	ガラス、艶消し金属
Cook-Torrance	$f\_r = \frac{DGF}{4(\omega\_o \cdot n)(\omega\_i \cdot n)}$	物理ベース反射、マイクロファセット理論	金属、濡れた表面
Oren-Nayar	Lambertの粗面拡張。解析式は長いため省略	拡散面の粗さ考慮	布、コンクリート
GGX / Trowbridge-Reitz	分布D項に $D = \frac{\alpha^2}{\pi((n \cdot h)^2(\alpha^2 - 1) + 1)^2}$	PBRで用いられる鏡面分布	ゲームエンジンの標準材質
Perfect Specular	$f\_r = \delta(\omega\_o - r(\omega\_i))$	完全鏡面反射、デルタ関数	鏡、静水面

$\rho$ : 拡散反射率（アルベド、無次元）
$\mathbf{r}$ : 入射方向の鏡面反射ベクトル
$\mathbf{v}$ : 観測方向ベクトル
$\mathbf{n}$ : サーフェス法線
$\mathbf{h}$ : ハーフベクトル（ $\mathbf{h} = \frac{\omega\_i + \omega\_o}{|\omega\_i + \omega\_o|}$ ）
$s$ : 光沢指数（Phongモデルにおける指数、無次元）
$\alpha$ : 表面粗さパラメータ（GGX）
$D, G, F$ : 分布項、幾何項、フレネル項（Cook-Torranceモデル）

拡散反射において、放射輝度 $L\_o$ は入射方向 $\omega\_i$ からの放射照度 $E\_i$ に比例し、すべての方向に等しく反射されると仮定する。

L_o(x, \omega_o) = \frac{\rho}{\pi} E_i(x) = \frac{\rho}{\pi} \int_{\Omega} L_i(x, \omega_i) (\omega_i \cdot n) d\omega_i

よって、BRDF $f\_r$ は：

f_r(x, \omega_i, \omega_o) = \frac{\rho}{\pi}

これは方向に依存しない定数であり、エネルギー保存性を持つ。

Phongモデルは経験的な鏡面ハイライトの近似であり、反射ベクトル $\mathbf{r}$ と視線方向 $\mathbf{v}$ の間の角度 $\theta$ に依存して次のように表される：

f_r(\omega_i, \omega_o) \propto (\max(\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}, 0))^s

ここで $s$ は光沢指数であり、大きいほど鏡面反射が鋭くなる。正規化には以下のようにエネルギー保存則を仮定してスケーリング係数を導入する：

f_r(\omega_i, \omega_o) = \frac{s + 2}{2\pi} (\max(\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}, 0))^s

Blinn-Phongは反射ベクトルの代わりにハーフベクトル $\mathbf{h}$ を用いる。

f_r(\omega_i, \omega_o) = \frac{s + 8}{8\pi} (\max(\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}, 0))^s

この式もエネルギー保存性のための正規化係数を含む。 $\mathbf{h}$ は以下のように定義される：

\mathbf{h} = \frac{\omega_i + \omega_o}{\| \omega_i + \omega_o \|}

Cook-Torranceモデルはマイクロファセット理論に基づき、以下の3要素で構成される：

f_r = \frac{D(\mathbf{h}) G(\omega_i, \omega_o, \mathbf{h}) F(\omega_i)}{4(\omega_i \cdot n)(\omega_o \cdot n)}

D_{GGX}(\mathbf{h}) = \frac{\alpha^2}{\pi((n \cdot \mathbf{h})^2(\alpha^2 - 1) + 1)^2}

幾何項（Smith近似）：

G_{Smith}(\omega) = \frac{2(n \cdot v)}{(n \cdot v) + \sqrt{\alpha^2 + (1 - \alpha^2)(n \cdot v)^2}}

フレネル項（Schlick近似）：

F(\omega_i) = F_0 + (1 - F_0)(1 - (\omega_i \cdot \mathbf{h}))^5

以降、各項目の物理的意味、エネルギー保存の証明、Fresnel完全式との比較などを必要に応じて展開可能である。